题目内容

课题：探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式．
实验：
（1）如图1，三角形的三边长分别为a、b、c，∠A=60°，现将六个这样的三角形（设面积为S₆）拼成一个六边形，由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°，所以由a边围成了一个大的正六边形，其面积可计算出为；由于所围成的小六边形的边长都是，其面积为，由此可得S₆=．
（2）如图2，三角形的三边长分别为a、b、c，∠A=120°，试用这样的三角形拼成一个正三角形（设面积为S₃），先画出这个正三角形，再推出S₃的计算公式；
推广：
（3）对于三角形的三边长分别为a、b、c，当∠A取什么值时，能拼成一个任意正n边形吗？如果能，试写出∠A和三角形的面积S_n的表达式；如果不能，请简要说明理由．

解：（1）∵大正六边形的边长是a，
∴大正六边形的面积是： $\text{[math]}$ a²；
∵Rt△ABC的三边长分别为a、b、c，
∴小六边形的边长是b-c；
∴小六边形的面积是： $\text{[math]}$ （b-c）²；
∴这六个三角形的面积= $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ （b-c）²= $\text{[math]}$ [a²-（b-c）²]；

（2）如图画出正三角形花环，

∵大三角形的边长都是a，小三角形的边长都是b-c，
∴两个三角形都是正三角形，
可求得大三角形面积为 $\text{[math]}$ a²，小三角形的面积为 $\text{[math]}$ （b-c）²，
∴S₃= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ （b-c）²]= $\text{[math]}$ [a²-（b-c）²]；

（3）当∠A= $\text{[math]}$ 时，能拼成一个任意正n边形花环，
此时大正n边形的面积为 $\text{[math]}$ ，
花环内小正n边形的面积为 $\text{[math]}$ ，
故S_n= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据大六边形的边长是a可直接计算出其面积；再根据直角三角形ABC的边长可求出小正六边形的边长，由六边形的面积公式可求出小六边形的面积，再把两个六边形的面积相减即可求出六个三角形的面积；
（2）根据题意画出图形，再根据正三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）（2）可总结出规律．
点评：本题考查的是正多边形与圆、解直角三角形，熟知正六边形的面积公式及直角三角形的性质是解答此题的关键．