题目内容
课题：探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式．实验：
（1）如图1，三角形的三边长分别为a、b、c，∠A=60°，现将六个这样的三角形（设面积为S6）拼成一个六边形，由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°，所以由a边围成了一个大的正六边形，其面积可计算出为
（2）如图2，三角形的三边长分别为a、b、c，∠A=120°，试用这样的三角形拼成一个正三角形（设面积为S3），先画出这个正三角形，再推出S3的计算公式；
推广：
（3）对于三角形的三边长分别为a、b、c，当∠A取什么值时，能拼成一个任意正n边形吗？如果能，试写出∠A和三角形的面积Sn的表达式；如果不能，请简要说明理由．
分析：（1）根据大六边形的边长是a可直接计算出其面积；再根据直角三角形ABC的边长可求出小正六边形的边长，由六边形的面积公式可求出小六边形的面积，再把两个六边形的面积相减即可求出六个三角形的面积；
（2）根据题意画出图形，再根据正三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）（2）可总结出规律．
（2）根据题意画出图形，再根据正三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）（2）可总结出规律．
解答：解：（1）∵大正六边形的边长是a，
∴大正六边形的面积是：
a2；
∵Rt△ABC的三边长分别为a、b、c，
∴小六边形的边长是b-c；
∴小六边形的面积是：
（b-c）2；
∴这六个三角形的面积=
a2-
（b-c）2=
[a2-（b-c）2]；
（2）如图画出正三角形花环，
∵大三角形的边长都是a，小三角形的边长都是b-c，
∴两个三角形都是正三角形，
可求得大三角形面积为
a2，小三角形的面积为
（b-c）2，
∴S3=
[
a2-
（b-c）2]=
[a2-（b-c）2]；
（3）当∠A=
时，能拼成一个任意正n边形花环，
此时大正n边形的面积为
，
花环内小正n边形的面积为
，
故Sn=
．
∴大正六边形的面积是：
3
| ||
| 2 |
∵Rt△ABC的三边长分别为a、b、c，
∴小六边形的边长是b-c；
∴小六边形的面积是：
3
| ||
| 2 |
∴这六个三角形的面积=
3
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
（2）如图画出正三角形花环，
∵大三角形的边长都是a，小三角形的边长都是b-c，
∴两个三角形都是正三角形，
可求得大三角形面积为
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
∴S3=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| ||
| 12 |
（3）当∠A=
| 360° |
| n |
此时大正n边形的面积为
| na2 | ||
4tan
|
花环内小正n边形的面积为
| n(b-c)2 | ||
4tan
|
故Sn=
| a2-(b-c)2 | ||
4tan
|
点评：本题考查的是正多边形与圆、解直角三角形，熟知正六边形的面积公式及直角三角形的性质是解答此题的关键．
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）拼成一个六边形，由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°,所以由a边围成了一个大的正六边形，其面积可计算出为 ；由于所围成的小六边形的边长都是 ，其面积为 ，由此可得
),先画出这个正三角形,再推出
边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积
的表达式;如果不能,请简要说明理由.
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),先画出这个正三角形,再推出
边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积
的表达式;如果不能,请简要说明理由.
