Question

15．如果，矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，且CH=AG，CF=AE．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若AB=8，AD=4，且GH恰好平分∠FGE，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AB∥CD，求出∠FCH=∠EAG，根据SAS推出全等即可；
（2）连接AF，求出△FGA≌△FHC，根据全等三角形的性质得出FC=FA，设FC=x，则FA=x，FD=8-x，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCH=∠EAG，
在△AGE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠EAG=∠FCH}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△AGE≌△CHF（SAS）；

（2）解：连接AF，
∵GH平分∠FGE，
∴∠FGH=∠EGH，
∵FH∥GE，
∴∠EGH=∠FHG，
∴∠FGH=∠FHG，
∴FG=FH，∠FGA=∠FHC，
在△FGA和△FHC中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠FGA=∠FHC}\\{FG=FH}\end{array}\right.$
∴△FGA≌△FHC（SAS），
∴FC=FA，
设FC=x，则FA=x，FD=8-x，
在Rt△ADF中，x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即CF的长为5．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．