Question

5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB，对角线AC与BD相交于点E，EF∥CD交AD于点F．
（1）若△DCE的面积为10，求△BCE的面积；
（2）若DC²=DE•DB，求证：DF²=DE•BE．

Answer 1

分析 （1）由平行线得出△ABE∽△CDE，得出$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，得出△BCE的面积=$\frac{1}{2}$△DCE的面积=5即可；
（2）由已知得出$\frac{DC}{DE}=\frac{DB}{DC}$，证明△CDE∽△BDC，得出∠1=∠2，证出AC⊥BD，即∠AED=∠AEB=90°，由射影定理得出CE²=DE•EB，设BE=a，则DE=2a，求出DC=$\sqrt{6}$a，由勾股定理求出CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}a}{2}$，DF=$\frac{2}{3}$AD，得出DF=$\sqrt{2}$a，证出DF=CE，即可得出结论．

解答 （1）解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴△BCE的面积=$\frac{1}{2}$△DCE的面积=$\frac{1}{2}$×10=5；
（2）证明：∵DC²=DE•DB，
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{DB}{DC}$，
∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴AC⊥BD，即∠AED=∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，CE⊥BD，
∴CE²=DE•EB，
设BE=a，则DE=2a，
∵DC²=DE•DB=2a×3a，
∴DC=$\sqrt{6}$a，
在Rt△DCE中，CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}a}{2}$，DF=$\frac{2}{3}$AD，
∴DF=$\frac{2}{3}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a=$\sqrt{2}$a，
∴DF=CE，
∴DF²=DE•BE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、射影定理、等腰三角形的判定等知识；本题有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．