Question

如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，有下面四个结论：
①点P在∠BAC的平分线上；
②AS=AR；
③QP∥AR；
④△BRP≌△QSP
（1）判断上面结论中______是正确的；
（2）选择其中一个证明．

Answer 1

解：（1）①正确，∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴点P在∠A的平分线上；AQ=PQ．
②正确，∵点P在∠A的平分线上，
∴△ARP≌△ASP．
∴AS=AR．
③正确，∵点P在∠A的平分线上；
∴∠2=∠3．
又∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴QP∥AR．
④∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C．
又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠BRP=∠CSP．
又∵BP=CP，
∴△BRP≌△QSP．
故答案为①②③④．
分析：根据角平分线的判定定理知，①正确；根据已知，易证△ARP≌△ASP，所以AS=AR；根据等腰三角形的性质知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，内错角相等，所以PQ∥AR；根据①②③的结论，易证④正确．
点评：充分利用等边三角形三个角相等、三线合一等性质，找到图中相等的量，再根据角平分线的性质、平行线的判定等知识进行判定．