Question

如图，以△ABC三边为边，分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是菱形？请说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是正方形？不必说出理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出答案；
（2）根据菱形的判定证出即可；
（3）根据正方形的判定证出即可．

解答：（1）证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中

BC=CE ∠BCA=∠ECF AC=CF

，
∴△BCA≌△ECF，
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）解：当AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，AD=AF，
∴平行四边形ADEF是菱形；

（3）解：当AB=AC，∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形，
理由是：∵四边形ADEF是平行四边形，
已证：AD=AF，∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是正方形．

点评：本题考查了对平行四边形、菱形、正方形的判定的理解和运用，同时也运用了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，题目较好，有一定的难度．