Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于任意两点，,若点满足，，则称点为点，的衍生点.

（1）求点，的衍生点；

（2）如图，已知是直线上的一点，，点是，的衍生点.

①求与的函数关系式；

②若直线与轴交于点，是否存在以为直角边的，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点,的衍生点是；（2）①；②存在以为直角边的,此时满足条件的点坐标是或.

【解析】

（1）根据衍生点的定义即可求出答案；

（2）①先根据直线设点B的坐标，再根据衍生点的定义求出点P的坐标，然后化简即可得出y与x的函数关系式；

②如图（见解析），分PQ是另一直角边和PA是另一直角边两种情况讨论，设点B或点P的坐标，再根据衍生点的定义建立等式求解即可.

（1）由衍生点的定义得：

故点,的衍生点是；

（2）①由题意设：

∵点是点的衍生点

∴,

则

∴

故y与x的函数关系式为；

②存在，求解点B的坐标过程如下：

如图1，当PQ是另一直角边时

此时，

由①的结论，设，则点

由点是点的衍生点得：，

解得：

则

故此时点的坐标为

如图2，当PA是另一直角边时

此时，

因为点A的坐标为

所以点P的横坐标为4，代入得：

则点P的坐标为

设点B的坐标为

由点是点,的衍生点得：，

解得：

则

故此时点的坐标为

综上，存在以为直角边的，此时满足条件的点坐标为或.