Question

【题目】如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．

（1）当α＝30°时，求x的值．

（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

Answer 1

【答案】(1)x=1;(2)S= ;(3)

【解析】

(1)根据等腰三角形的判定, ∠A＝∠a＝30°，得出 x＝1.(2)由直角三角形的性质,AB=2,AC=,由旋转性质求得△ADC∽△BEC,根据比例关系式,求出S与x的函数关系式.(3)当s＝s△ABC时,求得x的值,判断⊙E和DE的长度大小,确定⊙E与A′C的位置关系,再求tanα值.

解：（1）∵∠A＝∠a＝30°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠BCD＝60°．

∴AD＝BD＝BC＝1．

∴x＝1；

（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠A＝∠CBE＝30°．

∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．

由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，

∠ACD＝∠BCE，

∴△ADC∽△BEC，

∴＝，

∴BE＝x．

∵BD＝2﹣x，

∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s＝s△ABC

∴﹣+＝，

∴4x2﹣8x+3＝0，

∴，．

①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．

∴DE＝＝．

∵DE∥A′B′，

∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．

∴EC＝DE＝＞BE，

∴此时⊙E与A′C相离．

过D作DF⊥AC于F，则，．

∴．

∴． （12分）

②当时，，．

∴，

∴，

∴此时⊙E与A'C相交．

同理可求出．