如图.在矩形OABC中.点A.C的坐标分别为.点D是线段BC上的动点.过点D作直线y=-$\frac{1}{2}$x+m交线段OA于点E．(1)矩形OABC的周长是24,(2)连结OD.当OD=DE时.求m的值,(3)若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1.试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否会随着E点位置的变化而变化.若不变.求出该重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-$\frac{1}{2}$x+m交线段OA于点E．
（1）矩形OABC的周长是24；
（2）连结OD，当OD=DE时，求m的值；
（3）若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC重叠部分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

分析（1）根据点A、C的坐标可得出线段OA、OC的长，再根据矩形的周长公式即可得出结论；
（2）根据直线DE的解析式可得出点D、E的坐标，再根据等腰三角形的性质可得出OE=2CD，从而得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，过点D作DH⊥OA于点H，由此得出矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
根据对称的性质可得出四边形DNEM为平行四边形，再根据平行线的性质可找出∠MED=∠MDE，从而得出四边形DNEM为菱形，设该菱形的边长为a，通过在RT△DHN中利用勾股定理求出a的值，再根据菱形的面积公式求出S_菱形DNEM为定值即可得出结论．

解答解：（1）∵在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），
∴AB=OC=2，BC=OA=10，
∴C_矩形OABC=（OC+OA）×2=24．
故答案为：24．
（2）令y=-$\frac{1}{2}$x+m中y=0，则-$\frac{1}{2}$x+m=0，
解得：x=2m，即点E（2m，0）；
令y=-$\frac{1}{2}$x+m中y=2，则-$\frac{1}{2}$x+m=2，
解得：x=2m-4，即点D（2m-4，2）．
∵OD=DE，四边形OABC为矩形，
∴OE=2CD，即2m=2×（2m-4），
解得：m=4．
（3）设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，过点D作DH⊥OA于点H，如图所示．

矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知：DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形．
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
∵DM∥NE，
∴∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
∵OC=2，
∴DH=2，
∵直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+m，
∴HE=2DH=4．
设菱形DNEM 的边长为a，
∴HN=HE-NE=OE-OH-NE=4-a，
在RT△DHN中，（4-a）²+2²=a²，
解得：a=$\frac{5}{2}$，
∴S_菱形DNEM=NE•DH=5，
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化，且面积始终为5．

点评本题考查了矩形的周长公式、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程以及菱形的判定定理，解题的关键是：（1）套用矩形的周长公式求值；（2）找出关于m的一元一次方程；（3）找出重叠部分为面积不变的菱形．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，尤其是第3小问，在该问中，确定重叠部分为菱形是解题的关键．

命中环数（单位：环）	7	8	9	10
甲命中相应环数的次数	2	2	0	1
乙命中相应环数的次数	1	3	1	0

年龄（岁）	12	13	14	15	16
人数	1	2	7	6	2

试题分类