题目内容
如图1，在正方形
中，点
分别为边
的中点，
相交于点
，则可得结论：①
；②
．（不需要证明）
（1）如图2，若点不是正方形的边的中点，但满足
，则上面的结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如图3，若点分别在正方形的边
的延长线和
的延长线上，且，此时上面的结论1，2是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（3）如图4，在（2）的基础上，连接
和
，若点
分别为
的中点，请判断四边形
是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．
（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴结论①、②成立
（2）结论①、②仍然成立．理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
AD=DC
∠ADC=∠DCB
CE=DF，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；
（3）结论：四边形MNPQ是正方形
证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=
DE，
同理可证：PN∥DE，PN=DE；
MN∥AF，MN=AF；
PQ∥AF，PQ=AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．
【解析】（1）根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立．
（2）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；
（3）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．
中，对角线
与
相交于点
，
平分
，交
．
；
从点
出发，沿着线段
向点
运动（不与点
从点
出发，沿着
的延长线运动，点
平分
，交
，过点
，垂足为
，请猜想
，
与
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
，
时，求
中，对角线
与
相交于点
，
平分
，交
．
；
从点
出发，沿着线段
向点
运动（不与点
从点
出发，沿着
的延长线运动，点
平分
，交
，过点
，垂足为
，请猜想
，
与
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
，
时，求
中，点
分别为边
的中点，
相交于点
，则可得结论：①
；②
．（不需要证明）
，则上面的结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）
的延长线和
的延长线上，且
和
，若点
分别为
的中点，请判断四边形
是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．
中，对角线
与
相交于点
，
平分
，交
．
；
从点
出发，沿着线段
向点
运动（不与点
从点
出发，沿着
的延长线运动，点
平分
，交
，过点
，垂足为
，请猜想
，
与
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
，
时，求
中，对角线
与
相交于点
，
平分
，交
．
；
从点
出发，沿着线段
向点
运动（不与点
从点
出发，沿着
的延长线运动，点
平分
，交
，过点
，垂足为
，请猜想
，
与
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
，
时，求