Question

【题目】如图，在矩形中，已知，点是对角线的中点，点是边上的动点，连接并延长交于点，过作，分别交矩形的边于点

（1）当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，

①求证：四边形是菱形．

②求的取值范围．

（2）当四边形的面积为144时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）为或或2或14

【解析】

（1）①根据题意利用对角线垂直且平分的四边形是菱形判定四边形是菱形．

②找极限点，当与重合时，在和中；可求得DE，进而求出AE；当与重合时，同理可得：，即得到AE的取值范围；

（2）分两种情况：

①当四边分别分布在矩形的两条边上时，当点在边上，由题（1）同理可证：四边形是菱形，且此时菱形的高为12，根据面积为144可求出，即四边形是正方形，可得到AE=2；同理当G运动到BC上时，AE=14；

②当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，如图6．过点作，交分别于点P，Q，得到，根据相似比设代入菱形面积公式求出a，再由勾股定理求出PE，即可求出，同理G运动到靠近C时根据对称性找出．

解：（1）①证明：在矩形中，，

．

又

同理可证：

又，

四边形是菱形．

②当与重合时，如图2，

在矩形中，

由勾股定理可得：且

在和中，

，

当与重合时，如图3，同理可得：，

，

当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，的取值范围为．

（2）

①当四边分别分布在矩形的两条边上时，当点在边上，如图4，由题（1）同理可证：四边形是菱形，且此时菱形的高为12

，

．

故

四边形是正方形

由于正方形和矩形对称轴为同一条，

，

同理可证：当点在边上时，如图5，．

②当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，如图6．过点作，交分别于点P，Q

易得．且，

，

，

设，

，

，

，

当点在点左侧时，，

由对称性可得，当点在点右侧时，如图7，；

综上所述：为或或2或14．