Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（-3，0）．
（1）求m、n的值；
（2）求直线PC的解析式．
[温馨提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

分析：（1）由于已知抛物线与x的交点坐标，则可设交点式y=

1

2

（x+3）（x-1），然后展开整理为一般式即可得到m、n的值；
（2）先确定C嗲坐标，再根据对称性确定顶点P的横坐标，把x=-1代入二次函数解析式可计算出P点的纵坐标，然后利用待定系数法确定直线PC的解析式．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=

1

2

（x+3）（x-1）=

1

2

x²+x-

3

2

，
所以m=1，n=-

3

2

；
（2）∵y=

1

2

x²+x-

3

2

，
∴C点坐标为（0，-

3

2

），
∵A的坐标是（1，0），点B的坐标是（-3，0），
∴抛物线的对称为直线x=-1，
把x=-1代入y=

1

2

x²+x-

3

2

得y=

1

2

-1-

3

2

=-2，
∴P点坐标为（-1，-2），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把P（-1，-2）、C（0，-

3

2

）代入得

-k+b=-2 b=- 3 2

，解得

k= 1 2 b=- 3 2

∴直线PC的解析式为y=

1

2

x-

3

2

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了待定系数法求一次函数的解析式．