Question

已知：如图，抛物线y=x²+bx+c（b、c为常数）经过原点和E（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设A是该抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值及此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由；
③当B（

1

2

，0）时，x轴上是否存在两点P、Q（点P在点Q的左边），使得四边形PQDA是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把原点及E的坐标分别代入函数关系式即可求出未知数的值，从而求出函数的解析式．
（2）
①根据二次函数解析式，求出与x轴0的交点坐标及抛物线对称轴，根据抛物线和矩形的对称性求出B点坐标，因为AB∥y轴，所以可知A、B横坐标相同，将B点横坐标代入解析式可以求出A点纵坐标，A、B两点纵标之差的绝对值即为AB的长，易求得矩形ABCD的周长；
②因为AB∥y轴，所以可知A、B横坐标相同，设B点横坐标为x，代入解析式可以求出A点纵坐标表达式，再根据抛物线和矩形的对称性，求出BC的长度表达式，然后将周长最值问题转化为关于x的二次函数的最值问题解答；
③分点P在AB的左侧和点P在点B的右侧两种情况解答．先假设该图形存在，根据菱形的性质和图形上点的坐标特点求出满足条件的P、Q两点．

解答：解：
（1）由已知条件，得：

0+0+c=0 9+3b+c=0

解得：

b=-3 c=0

∴所求的函数关系式为y=x²-3x（2分）

（2）①由y=x²-3x，令y=0，
得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3；
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）（3分）
∴它的顶点为（

3

2

，-

9

4

），对称轴为直线x=

3

2

∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=

1

2

（3-1）=1
∴B（1，0）（4分）
∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x²-3x上，
∴点A的纵坐标y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=2
∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=6（5分）
②∵点A在抛物线y=x²-3x上，可以设A点的坐标为（x，x²-3x），
∴B点的坐标为（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x轴的下方，
∴x²-3x＜0
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周长P=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

（6分）
∵a=-2＜0，
∴当x=

1

2

时，矩形ABCD的周长P最大值是

13

2

，（7分）
此时点A的坐标是（

1

2

，-

5

4

）（8分）
③当B（

1

2

，0）时，A（

1

2

，-

5

4

），D（

5

2

，-

5

4

），
且AD∥PQ．要使四边形PQDA是菱形，则需PA=PQ=AD=2，
有两种情况，当点P在AB的左侧时，
PB=

PA2-AB2

=

22-( 5 4 )2

=

39

4

而B（

1

2

，0）
∴P（

2- 39

4

，0），此时Q（

10- 39

4

，0）（9分）
当点P在点B的右侧时，同理可得此时P（

2+ 39

4

，0），Q（

10+ 39

4

，0）（10分）
综上所述，存在满足条件的P、Q两点．点P的坐标为（

2- 39

4

，0）或（

2+ 39

4

，0）．

点评：此题将抛物线和矩形菱形的周长和面积问题相结合，是一道中考压轴题．解答时要根据图形上点的坐标特点建立相应表达式，特别是（2）充分利用图形特点，转化为关于二次函数的最值问题解答．