Question

在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC₁，再将△ABC₁绕点A逆时针旋转90度，得到△AB₁C₂．请求出点C₂的坐标，并判断点C₂是否在题（1）所求的抛物线的图象上；
（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax²-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB₁落在y轴上，可过C₂作C₂D₁⊥AB₁，根据△ACD≌△AC₂D₁得AD₁、CD₁的长，从而求出点C₂的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，

4m-m2

2

)，由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：
①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．
②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．
③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．
结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．

解答：解：（1）作CD⊥AB交AB于点D；
由△ACD∽△BCD得到BD=1，所以AB=5，
又因为AB∥x轴，
所以点B的坐标为（5，2）（2分）
设函数解析式为：y=ax²+bx+c，把A，B，C三点代入得：
a=

1

2

，b=-

5

2

，c=2
所以y=

1

2

x2-

5

2

x+2；（3分）

（2）作C₂D₁⊥AB₁；
由△ACD≌△AC₂D₁得：
C₂D₁=2，AD₁=4，
所以C₂（-2，6）（2分）
把x=-2代入得y=9，
所以点C₂不在抛物线上；（1分）

（3）由题（1）可知a=

1

2

，
所以顶点坐标为(m，

4m-m2

2

)；（1分）
直线AC的解析式为y=-

1

2

x+2，把x=m代入
得y=-

1

2

m+2，
直线BC的解析式为y=2x-8，把x=m代入
得y=2m-8，
因为顶点在三角形内部或者边上，
所以0≤m≤5，
①

4m-m2

2

≤2，解得m可以取任意实数；
②-

1

2

m+2≤

4m-m2

2

，解得1≤m≤4（可以图象法解）；
③2m-8≤

4m-m2

2

，解得-4≤m≤4；
得出其中任意2个不等式给（1分），4个（2分）
所以m的取值范围是1≤m≤4．（1分）

点评：此题主要考查了图形旋转变化、相似及全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定以及函数图象的平移，同时还涉及到简单线性规划的实际应用，难度较大．