题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线 $数学公式$ 交x轴于点A，交y轴于点B，BD平分∠AB0，点C是x轴的正半轴上一点，连接BC，且AC=AB．
（1）求直线BD的解析式；
（2）过C作CH∥y轴交直线AB于点H，点P是射线CH上的一个动点，过点P作PE⊥CH，直线PE交直线BD于E、交直线BC于F，设线段EF的长为d（d≠0），点P的纵坐标为t，求d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，取线段AB的中点M，y轴上有一点N．试问：是否存在这样的t的值，使四边形PEMN是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）当y=0时则有 $\text{[math]}$ x+6=0，
解得：x=-8
∴A（-8，0），
∴AO=8
当x=0时，则有y=6
∴B（0，6），
∴OB=6，
在Rt△AOB中 OA²+OB²=AB²则有AB=10
过点D作DG⊥AB于点G
∵BD平分∠ABO OB⊥OA
∴OD=DG
设OD=DG=a
∵S_△ABD+S_△BOD=S_△AOB
∴ $\text{[math]}$ AB•DG+ $\text{[math]}$ OD•OB= $\text{[math]}$ OA•OB
即： $\text{[math]}$ ×10a+ $\text{[math]}$ a×6= $\text{[math]}$ ×6×8

∴a=3
∴D（-3，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b
将B（0，6），D（-3，0）代入得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
∴直线BD的解析式为y=2x+6；

（2）∵AC=AB=10，OA=8，
∴OC=10-8=2
∴C（2，0）
设直线BC的解析式为y=mx+n
将B（0，6），C（2，0）代入y=mx+n，则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
∴直线BC的解析式为y=-3x+6

，
∵CH∥y轴，点P的纵坐标为t，
∴当y=t时则有t=2x+6
∴x= $\text{[math]}$ ，t=-3x+6
∴x= $\text{[math]}$
∴E（ $\text{[math]}$ ，t） F（ $\text{[math]}$ ，t），
①当0≤t＜6时，EF= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
②当t＞6时，EF= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$

（3）由点M为线段AB的中点
易求：M（-4，3）

∴MN=4
∵四边形PEMN是平行四边形
∴MN∥PE MN=PE=4
由（2）得：E（ $\text{[math]}$ ，t），P（2，t）
∴PE=2- $\text{[math]}$ =4
解得：t=2
∴存在这样的t=2，使得四边形PEMN是平行四边形．
分析：（1）首先求得A，B的坐标以及AB的长，然后点D作DG⊥AB于点G，则OD=DG，根据S_△ABD+S_△BOD=S_△AOB利用三角形的面积公式即可求得OD的长度，从而求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）首先利用待定系数法求得直线BC的解析式，CH∥y轴点P的纵坐标为t，则E、F的纵坐标都是t，把y=t代入函数的解析式即可求得E、F的坐标；
（3）CH∥y轴，PE⊥CH，则PE∥x轴，则MN∥x轴，则N的坐标可以求得，则PE=MN，据此即可求得t的值．
点评：本题是待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算以及平行四边形的性质的综合应用，正确求得直线BC的解析式是关键．