Question

5．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{2^n}$+…．

图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC₁⊥AB于点C₁，再过点C₁作C₁C₂⊥BC于点C₂，又过点C₂作C₂C₃⊥AB于点C₃，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC₁、△CC₁C₂、△C₁C₂C₃、△C₂C₃C₄、…、△C_n-2C_n-1C_n、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$[1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{3}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}+（\frac{3}{4}）^{n}+…]$．

Answer 1

分析 先根据AC=2，∠B=30°，CC₁⊥AB，求得S_△ACC1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；进而得到${S}_{△C{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$，${S}_{△{C}_{1}{C}_{2}{C}_{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）²，${S}_{△{C}_{2}{C}_{3}{C}_{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）³，根据规律可知${S}_{△{C}_{n-2}{C}_{n-1}{C}_{n}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1，再根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，即可得到等式．

解答 解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC₁⊥AB，
∴Rt△ACC₁中，∠ACC₁=30°，且BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC₁=$\frac{1}{2}$AC=1，CC₁=$\sqrt{3}$AC₁=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACC1=$\frac{1}{2}$•AC₁•CC₁=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵C₁C₂⊥BC，
∴∠CC₁C₂=∠ACC₁=30°，
∴CC₂=$\frac{1}{2}$CC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁C₂=$\sqrt{3}$CC₂=$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△C{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•CC₂•C₁C₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$，
同理可得，
${S}_{△{C}_{1}{C}_{2}{C}_{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）²，
${S}_{△{C}_{2}{C}_{3}{C}_{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）³，
…
∴${S}_{△{C}_{n-2}{C}_{n-1}{C}_{n}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1，
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）³+…+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1+…
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$[1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{3}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}+（\frac{3}{4}）^{n}+…]$．
故答案为：2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$[1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{3}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}+（\frac{3}{4}）^{n}+…]$．

点评 本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．