Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为________．

Answer 1

分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，易证得△ABD≌△BAC，即可求得∠OBC=30°，OA=OB，又由△OCD∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OC：OA=OD：OB=1：2，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
解答：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，AC=BD，
在△ABD和△BAC中，
∵，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠CAB=∠ABD=30°，
∵AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠OBC=30°，∠OAB=∠OBA=30°，
∴OA=OB，
在Rt△OBC中，=sin30°=，
∴OC：OA=1：2，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴OC：OA=OD：OB=1：2，
在Rt△ABC中，BC=AB=4cm，AC==4，
∴S_△ABC=AC•BC=8，
∴S_△BOC=S_△ABC=，
∴S_△OCD=S_△OBC=．
故答案为：．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．