通过类比联想.引申拓展研究典型题目.可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例.请补充完整．原题:如图1.点E.F分别在正方形ABCD的边BC.CD上.∠EAF=45°.连接EF.则EF=BE+DF.试说明理由．(1)思路梳理∵AB=AD.∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG.可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°.∴∠FDG=180°.点F.D.G共线．根� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

分析（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，根据全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，证出△AFG≌△AFE即可；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，根据全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，证出△AFG≌△AFE即可；
（3）把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，根据全等得出AD=AG，BD=CG，∠B=∠ACG，∠BAD=∠C，求出∠B=45°，∠ECG=90°，∠DAE=∠FEAG，证出△DAE≌△GAE，根据全等得出DE=EG即可．

解答解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，
∴∠FAG=∠FAE，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFG和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG=BE+DF，
故答案为：SAS，△AFE；

（2）
当∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，
理由是：∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，
∴∠FAG=∠FAE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFG和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG=BE+DF，
故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）
BD²+CE²=DE²，
理由是：∵AB=AC，
∴把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
∴AD=AG，BD=CG，∠B=∠ACG，∠BAD=∠CAG，
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°，
∴∠DAE=∠FEAG，
在△DAE和△GAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠DAE=∠GAE}\\{AD=AG}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△GAE（SAS），
∴DE=EG，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG²=CE²+CG²，
即BD²+CE²=DE²．