Question

17．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP即可；
（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题．

解答 （1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．

（2）解：作OH⊥BC于H．
在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•PC•OH=$\frac{1}{2}$•OC•OP，
∴OH=$\frac{OC•OP}{PC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴PB=BC-PC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$-2$\sqrt{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．