Question

已知：P（4，1）为平面直角坐标系中的一点，点A（a，0），点B（0，a）（其中a＞0）分别是坐标轴上的动点，若△PAB的面积为3，试求点A的坐标．

Answer 1

考点：三角形的面积,坐标与图形性质

专题：

分析：过点P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于D，可得四边形OCPD是矩形，再分点C在点A的左边和右边两种情况，表示出AC、BD，再利用梯形的面积和三角形的面积表示出△ABP的面积，然后计算即可得解．

解答：解：过点P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
如图1，点C在点A的左边时，a＞4，
∵P（4，1），点A（a，0），点B（0，a），
∴AC=a-4，BD=a-1，
△PAB的面积=

1

2

×4×（a-1）+

1

2

×（a-4）×1+1×4-

1

2

×a²=3，
整理得，a²-5a+6=0，
解得a₁=2（舍去），a₂=3（舍去），
如图2，点C在点A的右边时，a＜4，
∵P（4，1），点A（a，0），点B（0，a），
∴AC=4-a，BD=a-1，
△PAB的面积=

1

2

×4×（a-1）+4×1-

1

2

×（4-a）×1-

1

2

×a²=3，
整理得，a²-5a+6=0，
解得a₁=2，a₂=3，
∴点A的坐标为（2，0）或（3，0），
综上所述，若△PAB的面积为3，则点A的坐标为（2，0）或（3，0）．

点评：本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，难点在于分情况讨论并表示出△ABP的面积列出方程．