Question

我们定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的衍生数．如：2的衍生数是，-1的衍生数是．
（1）若a的衍生数等于，求a的值；
（2）已知a₁=，a₂是a₁的衍生数，a₃是a₂的衍生数，a₄是a₃的衍生数，…，依此类推，求a₂₀₁₁的值．

Answer 1

解：（1）根据题意得：=，
解得a=-，
经检验，a=-是原分式方程的解．
即a=-；

（2）∵a₁=，
∴a₁的衍生数a₂==，
a₂的衍生数a₃==4，
a₃的衍生数a₄==-，
a₄的衍生数a₅==；
∴a_n的衍生数3次一循环，
∵2011÷3=670…1；
∴a₂₀₁₁=a₁=．
分析：（1）根据题意可得分式方程：=，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意求得a₂，a₃，a₄的值，可得规律：a_n的衍生数3次一循环，继而求得答案．
点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：a_n的衍生数3次一循环，是解此题的关键．