Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直径．
（1）求∠FCB的度数；
（2）求证：AH=

1

2

CF．

Answer 1

分析：（1）首先连接BF，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角，易求得∠FCB的度数为30°；
（2）连接AF，由半圆（或直径）所对的圆周角是直角，易证得四边形FBHD是平行四边形，继而可得AH=FB，又由FB=

1

2

CF，即可证得AH=

1

2

CF．

解答：解：（1）连接BF，则∠F=∠BAC=60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FBC=90°，
∴∠FCB=90°-∠F=30°；

（2）证明：连接AF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FAC=90°，
∴FA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴FA∥BE，
∵∠FBC=90°，
∴FB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴FB∥AD，
∴四边形FBHA是平行四边形，
∴AH=FB，
在Rt△FBC中，∠FCB=30°，
∴FB=

1

2

FC，
即AH=

1

2

FC．

点评：此题考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．