题目内容

如图，C、D、B的坐标分别为（1，0）（9，0）（10，0），点P（t，0）是CD上一个动点，在x轴上方作等边△OPE和△BPF，连EF，G为EF的中点．
（1）当t=时，EF∥OB；
（2）双曲线y= $数学公式$ 过点G，当PG= $数学公式$ 时，则k=．

解：（1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，如图，
∵△OPE和△BPF都是等边三角形，

∴EM= $\text{[math]}$ OP，FN= $\text{[math]}$ PB，
当EM=FN时，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PC=t，PB=10-t
∴ $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ （10-t），
∴t=5；

（2）作GH⊥OB于H点，如图，
∵G为EF的中点，
∴GH为梯形EMNF的中位线，
∴GH= $\text{[math]}$ （EM+FN）= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ （10-t）]= $\text{[math]}$ ，HM= $\text{[math]}$ MN= $\text{[math]}$ （ON-OM）= $\text{[math]}$ [t+ $\text{[math]}$ （10-t）- $\text{[math]}$ t]= $\text{[math]}$ ，
∴PH= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t或 $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
∴t₁=3，t₂=7，
当t=3时，OH= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t=4，
∴G点坐标为（4， $\text{[math]}$ ），
把G（4， $\text{[math]}$ ）代入y= $\text{[math]}$ 得k=4× $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ ；
当t=7时，OH= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =6，
∴G点坐标为（6， $\text{[math]}$ ），
把G（6， $\text{[math]}$ ）代入y= $\text{[math]}$ 得k=6× $\text{[math]}$ =15 $\text{[math]}$ ；
∴k的值为10 $\text{[math]}$ 或15 $\text{[math]}$ ．
故答案为5；10 $\text{[math]}$ 或15 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，根据等边三角形的性质得EM= $\text{[math]}$ OP，FN= $\text{[math]}$ PB，所以EM=FN时，EF∥OB，则 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ （10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H点，则GH为梯形EMNF的中位线，根据梯形中位线的性质得GH= $\text{[math]}$ （EM+FN）= $\text{[math]}$ ，HM= $\text{[math]}$ MN= $\text{[math]}$ （ON-OM）= $\text{[math]}$ ，得到PH= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t或 $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，
再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分别确定G点坐标，再代入反比例函数解析式可得到k的值．，
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式；掌握等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系和勾股定理．