Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为长方形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．
（1）直线AC的解析式是y=-x+3．
（2）记△MPA的面积为S，求S关于t的函数关系式（0＜t＜4）．
（3）若点Q在y轴上，当S=1.5且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

Answer 1

解：（1）直线AC的解析式是y=-x+3．

（2）∵OM=t，
∴AM=4-t，
∵PN∥AB，
∴，
∴，
∴PN=（4-t），
∴PH=3-PN=，
故S于t的函数关系式为S=AM•ON=×t×（4-t）=（4t-t²）=-t²+t．

（3）当S=1.5时，t=2，此时N在BC的中点处，如下图．
设Q（0，y），则AQ²=OA²+OQ²=4²+y²，
QN²=CN²+CQ²=2²+（3-y）²，
AN²=AB²+BN²=3²+2²．
∵△QAN为等腰三角形．
①若AQ=AN，则4²+y²=3²+2²，此时方程无解．

②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，
解得．
③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，
解得y₁=0，y₂=6．
∴，Q₂（0，0），Q₃（0，6）．
当Q为时，设直线AQ的解析式为，将A（4，0）
代入得，∴．
∴直线AQ的解析式为．
当Q为（0，0）时，A（4，0），Q（0，0）均在x轴上，
∴直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴）．
当Q为（0，6）时，Q，N，A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去．
故直线AQ的解析式为，或y=0．
分析：（1）如图可得点C的坐标为（0，3），设直线AC的解析式为y=kx+b．把已知坐标代入可求出解析式．
（2）首先求出OM，ON的值，依题意得S=OM•ON．
（3）当S=1.5时，N在BC的中点处，设Q（0，y）利用勾股定理证明△QAN为等腰三角形．分三种情况讨论等腰三角形的边长：①若AQ=AN，则4²+y²=3²+2²，此时方程无解；②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，得；③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，解得y₁=0，y₂=6．故求出三个Q点坐标，分别代入直线AQ的解析式求解．
点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及勾股定理的有关知识，难度较大．