Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），直线y=-x+6分别与x轴，y轴交于点M、N，点P是线段MN上一点，O是坐标原点．
（1）求M、N的坐标；
（2）设P点的坐标为（x，y），写出△OPA的面积S与y的关系式；
（3）写出△OPA的面积S与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）当S=10时，求P点的坐标；
（5）当△OPA是以OA为底的等腰三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）根据题意得：
当y=0时，x=6，即M（6，0），
当x=0时，y=6，即N（0，6），
∴M（6，0），N（0，6）；

（2）由题意得：
S=×y×|OA|=2y；

（3）由（2）得：S=2y，
又由于点p在直线上，所以点p的坐标满足方程y=-x+6，代入面积方程得：
S=-2x+12（0＜x＜6）；

（4）当S=10时，分别代入（2）（3）得：
P点的坐标为（1，5）；

（5）当△OPA是以OA为底的等腰三角形时，由等腰三角形性质知p的横坐标为OA的中点，
即P点的横坐标为2，代入直线方程得：y=4，即点p坐标（2，4）．
分析：（1）分别使直线中y和x为0，解得即为点的坐标；
（2）根据三角形面积公式×底×高，其中高为p的纵坐标，底为OA长；
（3）由（2）面积S与y的关系式，又点在直线上，把直线方程代入即可；
（4）根据（2）（3）把s的值代入即可得到点的坐标；
（5）当△OPA是以OA为底的等腰三角形时，由等腰三角形性质知p的横坐标为OA的中点，即得p的坐标．
点评：本题考查一次函数图象的性质和坐标特征，以及与三角几何综合，要熟练掌握一次函数图象特征．