Question

9．已知：△DEC的一个顶点D在△ABC内部，且∠CAD+∠CBD=90°．
（1）如图1，若△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DEC=90°，连接BE，求证：△ADC∽△BEC．
（2）如图2，若∠ABC=∠DEC=90°，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{DE}{EC}$=n，BD=1，AD=2，CD=3，求n的值；
（3）如图3，若AB=BC，DE=EC，且∠ABC=∠DEC=135°，BD=a，AD=b，CD=c，请直接写出a、b、c三者满足的等量关系．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABC∽△DEC，得出$\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$，即可得出结论；
（2）先求出AC=$\sqrt{{n}^{2}+1}$BC，同理：CD=$\sqrt{{n}^{2}+1}$EC，再判断出△ABC∽△DEC，得出比例式，继而判断出△ACD∽△BCE，即可得出AD=$\sqrt{{n}^{2}+1}$BE，BE=$\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，再利用勾股定理得出DE²=$\frac{9{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$再判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法$\frac{c}{CE}=\frac{b}{BE}$，再构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DEC=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∵$\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$，
∴△ACD∽△BCE；

（2）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+1}$BC，
同理：CD=$\sqrt{{n}^{2}+1}$EC，
∵∠ABC=∠DEC=90°，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{DE}{EC}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}$
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{DE}$，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∵$\frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}=\frac{AD}{BE}$=$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∴AD=$\sqrt{{n}^{2}+1}$BE，
∵AD=2，
∴BE=$\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
在Rt△CDE中，CD²=DE²+CE²=（n²+1）CE²=9，
∴CE²=$\frac{9}{{n}^{2}+1}$
∴DE²=n²CE²=n²×$\frac{9}{{n}^{2}+1}$=$\frac{9{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAD+∠CBD=90°，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°，
在Rt△BDE中，DE²=BD²+BE²=1+$\frac{4}{{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{9{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$=1+$\frac{4}{{n}^{2}+1}$，
∴n=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（舍）或n=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；

（3）c²-b²=（2+$\sqrt{2}$）a²，
理由：如图，∵AB=BC，DE=EC，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}$，
∵∠ABC=∠DEC，
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{CD}$，
∵AB=BC，DE=EC，且∠ABC=∠DEC=135°，
∴∠ACB=∠DCE=22.5°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵$\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{CD}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}=\frac{AD}{BE}$，
∴$\frac{c}{CE}=\frac{b}{BE}$，
过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，
∵∠DEC=135°，
∴∠DEF=45°，
设DF=x，
∴EF=x，DE=$\sqrt{2}$x，
∵EC=DE=$\sqrt{2}$x，
∴CF=EF+EC=（$\sqrt{2}$+1）x，
在Rt△CDF中，CF²+DF²=CD²，
∴[（$\sqrt{2}$+1）x]²+x²=c²，
∴x²=$\frac{{c}^{2}}{4+2\sqrt{2}}$，
∴DE²=2x²=$\frac{{c}^{2}}{2+\sqrt{2}}$，
∴BE²=$\frac{{b}^{2}C{E}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$×$\frac{{c}^{2}}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2+\sqrt{2}}$，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAD+∠CBD=90°，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°，
在Rt△BDE中，DE²=BD²+BE²，
∴$\frac{{c}^{2}}{2+\sqrt{2}}$=a²+$\frac{{b}^{2}}{2+\sqrt{2}}$，
∴c²-b²=（2+$\sqrt{2}$）a²．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DBE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用，还用到类比的方法解决问题．