Question

如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．

Answer 1

证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE=∠BOC，
∵OF⊥BC，
∴∠COF=∠BOC，
∴∠BAE=∠COF，
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠OFC=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，
∴=，
由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴=，
∴=，
∵OF⊥BC，
∴BC=2FC，
∴AD=•FO=2FO，
即AD=2FO．
分析：（1）连接OB，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BOC，根据垂径定理可得∠COF=∠BOC，再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证．
点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，熟记两个定理并准确识图找出相等的角从而得到三角形相似是解题的关键．