Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（

3

2

，

25

8

）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

解答：解：（1）连接PC，
∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半径PC=PB=PA=

5

2

，
∴OP=

5

2

-1=

3

2

，
在△CPO中，由勾股定理得：OC=

CP2-OP2

=2，
∴C（0，2），
设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-4）（x+1）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

(x-

3

2

)2+

25

8

，
M（

3

2

，

25

8

），
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，
把C（0，2），M（

3

2

，

25

8

）代入得：

25 8 = 3 2 k+b b=2

，
解得：

k= 3 4 b=2

，
∴y=

3

4

x+2，
答：直线MC对应函数表达式是y=

3

4

x+2．

（3）MC与⊙P的位置关系是相切．
证明：设直线MC交x轴于D，
当y=0时，0=

3

4

x+2，
∴x=-

8

3

，OD=

8

3

，
∴D（-

8

3

，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+(

8

3

)2=

100

9

=

400

36

，
PC²=(

5

2

)2=

25

4

=

225

36

，
PD²=(

5

2

+

8

3

-1)2=

625

36

，
∴CD²+PC²=PD²，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC为半径，
∴MC与⊙P的位置关系是相切．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．