Question

【题目】如图，中，，点是内一个动点，且满足，当线段取最小值时，记，线段上一动点绕着点顺时针旋转得到点，且满足 ，则的最小值为 _____________

Answer 1

【答案】

【解析】

先确定CD最小时，点D的位置，将DA绕点D逆时针旋转，得到DG，连接GE，利用SAS即可证出△GDE≌△ADF，从而得出GE=AF，可得当GE⊥AB时，GE最小，即AF最小，然后过点D作DM⊥AB于M，过点G作GH⊥DM交DM的延长线于H，利用相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质即可求出结论．

解：∵，

∴∠DBC＋∠ABD=90°

∵，设=

∴∠DAB＋∠ABD=90°

∴∠ADB=90°

∴点D在以AB为直径的圆上，设圆心为O，半径为，易知当O、D、C三点共线时CD最小，

∴OD=OB=OA=3，

∴OC=

将DA绕点D逆时针旋转，得到DG，连接GE，

∴DG=DA，∠GDA=∠EDF=

∴∠GDE=∠ADF

∵DE=DF

∴△GDE≌△ADF

∴GE=AF

∴当GE⊥AB时，GE最小，即AF最小

过点D作DM⊥AB于M，过点G作GH⊥DM交DM的延长线于H

∴DM∥BC，四边形GHME为矩形

∴△OMD∽△OBC，GE=HM

∴

即

∴DM=，OM=

∴AM=OM＋OA=

∵=，OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=

∴∠BOC=∠ODA＋∠OAD=2

在Rt△OBC中，∠OCB=90°－∠BOC

即=90°－2

∵∠MAD＋∠MDA=90°

∴＋＋∠GDH=90°

∴＋90°－2＋∠GDH=90°

∴∠GDH==∠DAM

∵∠DHG=∠AMD=90°，AD=DG

∴△GDH≌△DAM

∴DH=AM=

∴HM=DH－DM=

∴AF=GE=HM=

即AF的最小值为

故答案为：．