题目内容

在东西方向的海岸线L上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 $数学公式$ km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由；
（3）根据（2）的探究过程，请求出要使从B出发的轮船靠岸，那么轮船的航线y=kx+b的k的取值范围？（直接写出答案）

解：（1）∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，BC²=AB²+AC²=40²+（8 $\text{[math]}$ ）²=1792，
∴BC=16 $\text{[math]}$ ，
∴轮船的航行速度为 $\text{[math]}$ =12 $\text{[math]}$ （km/h）；

（2）以正东方向所在直线为横轴，以正北方向所在直线为纵轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系．作BE⊥x轴于E，则在直角△ABE中，AB=40km，∠BEA=90°，
则AE=AB•cos60°=20，BE=AB•sin60°=20 $\text{[math]}$ ，
则B的坐标是：（-20，20 $\text{[math]}$ ），同理C的坐标是：（12，4 $\text{[math]}$ ），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ，
则直线BC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+10 $\text{[math]}$
令y=0，则x=20，而AM=19.5，
∴20.5＞20＞19.5
∴轮船可以行至码头MN靠岸．…

（3）M的坐标是（19.5，0），设直线BM的解析式是y=kx+b
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
N的坐标是（20.5，0），设直线BN的解析式是：y═kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则- $\text{[math]}$ ≤k≤- $\text{[math]}$ …．
分析：（1）根据方向角可以证得△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求得BC的长，则航速即可求解；
（2）以正东方向所在直线为横轴，以正北方向所在直线为纵轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系．即可求得直线BC的解析式，得到BC与河岸的交点，从而确定船是否能到达MN的位置，从而进行判断；
（3）根据（2）可以求得M、N的坐标，根据待定系数法即可求得BM和BN的解析式，从而求得k的范围．
点评：本题考查了方向角以及待定系数法求函数的解析式，正确建立坐标系，把求线段的长的问题转化成求函数问题提现了数形结合的思想．