Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．

①求证：△AOC1≌△BOD1．

②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝5，BD＝7，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝5，BD＝10，连接DD1，设AC1＝kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②AC1⊥BD1；（2）AC1⊥BD1，理由详见解析，k＝；（3）k＝， AC12+（kDD1）2＝25．

【解析】

（1）①如图1，根据正方形的性质得OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，则∠AOB＝∠COD＝90°，再根据旋转的性质得OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，则OC1＝OD1，利用等角的补角相等得∠AOC1＝∠BOD1，然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1；

②由∠AOB＝90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，则∠APB＝90°所以AC1⊥BD1；

（2）如图2，根据菱形的性质得OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，则∠AOB＝∠COD＝90°，再根据旋转的性质得OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，则OC1＝OA，OD1＝OB，利用等角的补角相等得∠AOC1＝∠BOD1，加上，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得到∠OAC1＝∠OBD1，由∠AOB＝90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，则∠APB＝90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到，所以k＝；

（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则，所以k＝；根据旋转的性质得OD1＝OD，根据平行四边形的性质得OD＝OB，则OD1＝OB＝OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12＝BD2＝100，所以（2AC1）2+DD12＝100，于是有AC12+（kDD1）2＝25．

（1）①证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，

∴∠AOB＝∠COD＝90°，

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，

∴OC1＝OD1，∠AOC1＝∠BOD1＝90°+∠AOD1，

在△AOC1和△BOD1中

，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

②AC1⊥BD1；

∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，则∠APB＝90°

∴AC1⊥BD1；

（2）AC1⊥BD1．

理由如下：如图2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，

∴∠AOB＝∠COD＝90°，

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，

∴OC1＝OA，OD1＝OB，∠AOC1＝∠BOD1，

∴，

∴△AOC1∽△BOD1，

∴∠OAC1＝∠OBD1，

又∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，

∴∠APB＝90°

∴AC1⊥BD1；

∵△AOC1∽△BOD1，

∴

∴k＝；

（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，

∴，

∴k＝；

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OD1＝OD，

而OD＝OB，

∴OD1＝OB＝OD，

∴△BDD1为直角三角形，

在Rt△BDD1中，

BD12+DD12＝BD2＝100，

∴（2AC1）2+DD12＝100，

∴AC12+（kDD1）2＝25．