Question

如图，函数y=x-3的图象分别交x轴、y轴于点A、B，点C坐标为（-1，0）．一条抛物线经过A、B、C三点．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点D是线段AB上的动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值

专题：计算题

分析：（1）先确定A点和B点坐标，由于得到抛物线与x的两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）设D点坐标（x，x-3），则E（x，x²-2x-3），则DE=x-3-（x²-2x-3），然后整理后配成顶点式，再根据二次函数的性质求解．

解答：解：（1）令x=0，则y=x-3=-3，
∴B（0，-3）；
令y=0，则x-3=0，解得x=3，
∴A（3，0），
设抛物线所对应的函数关系式为y=a（x+1）（x-3），
把B（0，-3）代入得-3=a×1×（-3），
解得a=1，
所以函数的关系式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）设D（x，x-3），则E（x，x²-2x-3），（0≤x≤3），
则DE=x-3-（x²-2x-3）
=-x²+3x
=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
所以x=

3

2

 时，DE的最大值为

9

4

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．