Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是

 

度，阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．

解答：解：∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°-60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=

1

2

CB′=

1

2

CB=

1

2

×2=1，
∴B′D=

22-12

=

3

，
∴S_△CDB′=

1

2

×CD×DB′=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S_扇形B′CB=

60×π×22

360

=

2π

3

，
则阴影部分的面积为：

2π

3

-

3

2

，
故答案为：

2π

3

-

3

2

．

点评：此题主要考查了扇形面积应用以及三角形面积求法和勾股定理应用等知识，本题的关键是弄清所求的阴影面积等于扇形减去三角形面积