Question

4．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD中点，BP=3CP．
（1）说明：△ADQ∽△QCP；     
（2）求∠AQP的度数．

Answer 1

分析 （1）利用两边成比例夹角相等即可作出证明．
（2）利用相似三角形的性质，只要证明∠AQD+∠PQC=90°即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，
∴QC=QD=$\frac{1}{2}$AD，CP=$\frac{1}{4}$AD，
∴$\frac{AD}{QC}$=$\frac{DQ}{CP}$，
又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP．

（2）∵△ADQ∽△QCP，
∴∠DAQ=∠PQC，
∵∠DAQ+∠AQD=90°，
∴∠AQD+∠PQC=90°，
∴∠AQP=180°-（∠AQD+∠PQC）=90°．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键．