Question

15．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，连接CA，E是弦CD上一点，CE=CA，连接AD．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）连接OE，若AB=10，AD=6，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠ADC=∠BAC，根据三角形的外角的性质证明即可；
（2）连接BD，作EF⊥BD于D，OG⊥BD于G，EH⊥OG于H，根据勾股定理求出BD，根据三角形的内心的概念得到E是△ADB的内心，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵C是半圆的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADC=∠BAC，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA，又∠CEA=∠ADC+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAE，即AE平分∠BAD；
（2）解：连接BD，作EF⊥BD于D，OG⊥BD于G，EH⊥OG于H，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
∵C是半圆的中点，
∴DC平分∠ADB，又AE平分∠BAD，
∴E是△ADB的内心，
∴EF=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
∵∠CDB=45°，
∴DF=EF=2，
∵OG⊥BD，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴FG=2，
∴EH=FG=2，
∵OG是△BAD的中位线，
∴OG=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴OH=1，
∴OE=$\sqrt{E{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、三角形的内心、三角形中位线定理，掌握三角形的内接圆的半径的求法是解题的关键．