Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，已知OE=1cm，DF=4cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求切线CD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，根据垂径定理可知DE的长；在Rt△ODE中，已知了OE、DE的长，根据勾股定理可将OD即⊙O的半径求出；
（2）易证得△OED∽△ODC，根据相似三角形得出的对应成比例线段，可将CD的长求出．
解答：解：（1）连接OD，
在⊙O中，直径AB⊥弦DF于点E，
∴DE=DF=2cm．
在Rt△ODE中，OE=1cm，DE=2cm，
∴OD=cm．

（2）∵CD切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
在△OED与△ODC中，∠OED=∠ODC=90°，∠EOD=∠DOC，
∴△OED∽△ODC．
则，即．
∴CD=2cm．
点评：本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的判定知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．