Question

【题目】如图1，直线l：y=x+与x轴负半轴、y轴正半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（1，0）和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点Q是抛物线y=﹣x2+bx+c在第二象限内的一个动点．

①如图1，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+；（2）①S=﹣t2﹣t（﹣3＜t＜0）,；②EF=，点Q的坐标为（﹣3，4﹣）．

【解析】

试题（1）根据直线的解析式得到点把点B(1,0)与点代入于是得到结论；
（2）①连接OQ,在直线中,令y=0,则得到点根据三角形的面积公式即可得到结论；
②解直角三角形得到作直径ET交⊙I于点T,连接FT,则

得到当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小，推出在Rt△ADB中，根据三角函数的定义即可得到结论．

试题解析：(1)在直线中,令x=0,则

∴点

把点B(1,0)与点代入得：

解得：

∴抛物线的解析式为：

(2)①连接OQ,在直线中,令y=0,则

∴点

即

∴当时,S最大值

②∵点B(1,0),

在Rt△BOC中,

作直径ET交⊙I于点T,连接FT,则

又

当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小，

在Rt△AOC中,

在Rt△ADB中，

此时点Q的坐标为