Question

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

Answer 1

1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．  ----------答全2分

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，

证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，                    ------------2分

∴．

∵BD=CD，

∴．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．           --------------2分

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，∴AD=8

∴S_△ABC=BC•AD=×12×8=48．

S_△DEF=S_△ABC=×48=12．

又∵AD•BD=AB．DH，∴DH===，

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD  

∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH=DG=．

∵S_△DEF=×EF×DG=12，      ∴EF==5．      ----------- 4分