Question

【题目】问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？

题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．

特例分析:

（1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ．

（2）当时，解决“问题情境”中的问题．

解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．

Answer 1

【答案】（1）288，324；（2）当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是；（3）当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为

【解析】

（1）根据a=12,分类讨论即可,见详解,（2）表示出,根据二次函数的性质即可解题,（3）根据养鸡场的一边靠墙或包含墙分类讨论,再利用二次函数的性质求出最值即可解题.

解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30-）米,面积为S,依题意得：

S=x·（30-）=-=-,(x12)

∴当x=12时,矩形有最大值为288

如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得：

S=x·（36-x）=-,

∴当x=18时,矩形有最大值为324

综上,矩形的面积为288，324．

（2）如图①，设，则．

所以．

根据题意，得．

因为，

所以当时，随的增大而减小．

即当时，有最大值，最大值是400（m2）.

如图②，设，则．

所以．

根据题意，得．

因为，

所以当时，

有最大值，最大值是.

综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是．

（3）当时，围成边长为的正方形面积最大，最大面积是．

当时，围成两邻边长分别为，的养鸡场面积最大，最大面积为．

当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为．