题目内容
已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明| 1 |
| AB |
| 1 |
| CD |
| 1 |
| EF |
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）
| 1 |
| AB |
| 1 |
| CD |
| 1 |
| EF |
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
分析：（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．
（2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．
解答：（1）成立．
证明：∵AB∥EF
∴
=
∵CD∥EF
∴
=
∴
+
=
+
=
=1
∴
+
=
；
（2）关系式为：
+
=
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：
+
=
∴
+
=
即
+
=
又∵
•BD•AM=S△ABD，
•BD•CK=S△BCD
∴
•BD•EN=S△BED
∴
+
=
．
证明：∵AB∥EF
∴
| EF |
| AB |
| DF |
| DB |
∵CD∥EF
∴
| EF |
| CD |
| BF |
| DB |
∴
| EF |
| AB |
| EF |
| CD |
| DF |
| DB |
| BF |
| DB |
| DB |
| DB |
∴
| 1 |
| AB |
| 1 |
| CD |
| 1 |
| EF |
（2）关系式为：
| 1 |
| S△ABD |
| 1 |
| S△BDC |
| 1 |
| S△BED |
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：
| 1 |
| AM |
| 1 |
| CK |
| 1 |
| EN |
∴
| 2 |
| BD•AM |
| 2 |
| BD•CK |
| 2 |
| BD•EN |
即
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
又∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| S△ABD |
| 1 |
| S△BDC |
| 1 |
| S△BED |
点评：此题考查平行线分线段成比例定理的运用．
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