Question

11．如图，将抛物线y=（x-1）² 的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线y=-x+m与新图象只有四个交点，求m的取值范围．（　　）

• A． $\frac{3}{4}$＜m＜3
• B． $\frac{3}{4}$＜m＜7
• C． $\frac{4}{3}$＜m＜7
• D． $\frac{4}{3}$＜m＜3

Answer 1

分析 根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定m的取值．

解答 解：令y=4，则4=（x-1）²，
解得x=3或-1，
∴A（-1，4），
平移直线y=-x+m知：直线位于l₁和l₂时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l₁时，此时l₁过点A（-1，4），
∴4=1+m，即m=3．                    
②当直线位于l₂时，此时l₂与函数y=（x-1）² 的图象有一个公共点，
∴方程-x+m=x²-2x+1，
即x²-x+1-m=0有两个相等实根，
∴△=1-4（1-m）=0，
即m=$\frac{3}{4}$．                                
由①②知若直线y=-x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为$\frac{3}{4}$＜m＜3；
故选A．

点评 此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．