Question

【题目】已知矩形ABCD，AB＝10，BC＝13，点P为边AD上一动点，点A’与点A关于BP对称，连结A’C，当△A’BC为等腰三角形时，AP的长度为（）

A.2B.C.2或D.2或

Answer 1

【答案】C

【解析】

①如图1，当A′B=A′C时，过A′作A′M⊥BC于M反向延长A′M交AD于N，则MN⊥AD，得到MN垂直平分BC和AD，根据轴对称的性质得到AB=A′B=10，∠PA′B=∠A=90°，根据勾股定理得到A′M=，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当A′B=BC时，这种情况不存在；③如图2，当A′C=BC=13时，过A′作A′M⊥BC于M反向延长A′M交AD于N，则MN⊥AD，过C作CH⊥A′B于H，由勾股定理得到CH=，根据三角形的面积公式得到A′M=，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：∵△A′BC为等腰三角形，

∴①如图1，当A′B=A′C时，过A′作A′M⊥BC于M反向延长A′M交AD于N，

则MN⊥AD，

∴MN垂直平分BC和AD，

∵BC=13，

∴BM=AN=，

∵点A′与点A关于BP对称，

∴△ABP≌△A′BP，

∴AB=A′B=10，∠PA′B=∠A=90°，

∴A′M=，

∴A′N=MN-A′M=，

∵∠PA′N+∠A′PN=∠PA′N+∠BA′M=90°，

∴∠A′PN=∠BA′M，

∵∠PNA′=∠A′MB=90°，

∴△A′PN∽△BA′M，

∴，

∴，

∴A′P=，

∴AP=A′P=，

②当A′B=BC时，

∵A′B=AB=10，

∴这种情况不存在；

③如图2，当A′C=BC=13时，

过A′作A′M⊥BC于M反向延长A′M交AD于N，则MN⊥AD，过C作CH⊥A′B于H，

∴BH=×10=5，

∴CH=，

∴A′M=，

∴A′N=，BM=，

由①知，，

∴，

∴A′P=AP=2，

综上所述，AP的长度为2或；

故选：C．