Question

已知二次函数y=

m

x²+（3-

m

）x-3（m＞0）的图象与x轴交于点（x₁，0）和（x₂，0），且x₁＜x₂．
（1）求x₂的值；
（2）求代数式mx₁²+

m

x₁²+（3-

m

）x₁+6

m

x₁+9的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，得到关于x的一元二次方程

m

x²+（3-

m

）x-3=0，再利用因式分解法解二元一次方程即可求出两交点的坐标，然后根据x₁＜x₂即可得解；
（2）根据（1）的结论，先整理得到

m

x₁²+（3-

m

）x₁=3，再把x₁的值代入进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵二次函数y=

m

x²+（3-

m

）x-3 （m＞0）的图象与x轴交于点 （x₁，0）和（x₂，0），
∴令y=0，即

m

x²+（3-

m

）x-3=0，
（

m

x+3）（x-1）=0，
∵m＞0，
∴

m

＞0，
解得x=1或x=-

3

m

，
∵x₁＜x₂，-

3

m

＜0＜1，
∴x₂=1；

（2）由（1）x₁=-

3

m

，得

m

x₁=-3，
∵x₁=-

3

m

是方程

m

x²+（3-

m

）x-3=0的根，
∴

m

x₁²+（3-

m

）x₁=3，
∴mx₁²+

m

x₁²+（3-

m

）x₁+6

m

x₁+9=mx₁²+3+6

m

x₁+9，
=m•（-

3

m

）²+3+6

m

×（-

3

m

）+9，
=9+3-18+9，
=21-18，
=3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，通常令y=0，求关于x的二元一次方程得到交点，（2）题先利用方程的概念把代数式化简然后再代入x₁的值进行计算更加简便．