Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接E，F，
（1）求证：AE=AF； 
（2）求证：AD平分∠EDF； 
（3）请你猜想，AD与EF有何关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，根据AAS推出△AED≌△AFD即可．
（2）根据全等三角形性质推出即可．
（3）根据等腰三角形性质推出即可．

解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，

∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF．

（2）证明：∵△AED≌△AFD，
∴∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF．

（3）解：AD⊥EF，AD平分EF，
理由是：∵由（1）知：AE=AF，且∠EAD=∠FAD，
∴AD⊥EF，AD平分EF（三线合一）．

点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．