Question

2．如图，△ABC中，AB=BC=2，∠B=30°，D为AB的中点，在BC边上存在一点E，连接AE，DE，则AE+DE的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作D关于BC的对称点F，连接AF交BC于E，此时AE+DE=AE+FE=AF，根据两点之间线段最短可知AF就是AE+DE的最小值，故E即为所求的点．

解答 解：作D关于BC的对称点F，连接AF交BC于E，此时AE+DE=AE+FE=AF，根据两点之间线段最短可知AF就是AE+DE的最小值，故E即为所求的点．
∵D、F关于BC的对称，
∴DE=FE，BD=BF，∠FBE=DBE=30°，
∴∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴∠BDF=60°，DF=BD=AD=1，
∴∠DFA=∠DAF=30°，
∴∠AFB=90°，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AE+DE=AE+FE=AF=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．