Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=20°，点D是劣弧

AC

上一点，过D作DE⊥AB，垂足E，交直线AC于F，直线DB交直线AC于点G，使△DFG成为等腰三角形的点D有

3

个．

Answer 1

分析：由AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=20°，点D是劣弧

AC

上一点，过D作DE⊥AB，可证得∠ADB=90°，∠GFD=∠AFE=90°-20°=70°，然后分别从①当∠ADE=20°时，②当∠ADE=50°时，③当∠ADE=35°时，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB，
∵∠BAC=20°，
∴∠GFD=∠AFE=90°-20°=70°，
①当∠ADE=20°时，∠GDF=90°-20°=70°，
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=FG，
即△DFG成为等腰三角形；
②当∠ADE=50°时，则∠GDF=40°，
∴∠DGF=180°-∠GDF-∠GFD=70°，
∴∠GFD=∠DGF，
∴DF=DG，
即△DFG成为等腰三角形；
③当∠ADE=35°时，则∠GDF=55°，
∴∠DGF=180°-∠GDF-∠GFD=55°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴DF=FG，
即△DFG成为等腰三角形；
∴使△DFG成为等腰三角形的点D有3个．
故答案为：3．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．