题目内容
如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（-
，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线线y=ax2+bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。
，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线线y=ax2+bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。
| 解：（1） ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ， ∴∠ACB=90°， |
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| （2） ∵△AOC∽△ABC， ∴OC2=AO·OB， ∵A（-  ，0），点C（0，3），∴ AO=  ，OC=3，∴ 32=  OB，∴OB=4， ∴B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为  把C点坐标代入得  ，解得 ，∴抛物线的解析式为  ，即  。 |
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| （3） 存在。分两种情况讨论： ①OD=OB， D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H ，则H是OB 中点， DH=  OC，OH= OB，∴D（2，  ）；②BD=BO， 过D作DG⊥OB，垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1， ∵DG∥CO， ∴OG∶OB=CD∶CB， 即OG∶4=1∶5， ∴OG=  ； DG∶CO=BD∶BC， 即DG∶3=4∶5， ∴DG=  ，∴D（  ， ），综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，点D的坐标为（2，  ），（ ， ）。 |
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