Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB= ，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1 ．
（1）证明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD= = ，

在Rt△ABB1中，tan∠AB1B= = ．

又因为0＜∠ABD，∠AB1B ，所以∠ABD=∠AB1B，

所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，

所以AB1⊥BD．

又CO⊥侧面ABB1A1，且AB1侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO．又BD与CO交于点O，所以AB1⊥平面CBD．

又因为BC平面CBD，所以BC⊥AB1．

（2）解：如图所示，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），

B1（0， ，0），D（ ，0，0）．

又因为 =2 ，所以C1（ ， ， ）．

所以 =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）， =（ ， ， ）．

设平面ABC的法向量为 =（x，y，z），

则由 ，得

令y= ，则z=﹣ ，x=1， =（1， ，﹣ ）是平面ABC的一个法向量．

设直线C1D与平面ABC所成的角为α，

则sin α= = ．

故直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）推导出∠ABD=∠AB1B，从而∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，进而AB1⊥BD．由线面垂直得AB1⊥CO．从而AB1⊥平面CBD．由此能证明BC⊥AB1 ． （2）以O为原点，分别以OD，OB1 ， OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．