Question

如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O₁的弦，过B点作⊙O₁的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD²=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S_△DEF．

Answer 1

（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O₁于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴=，
同理，△OPF∽△BPD
∴=，
∴=，
∴PD²=PE•PF；

（2）解：连接O₁B，O₁P，
∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O₁BP=90°-30°=60°，
∵O₁B=O₁P，
∴△O₁BP为等边三角形，
∴O₁B=BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=OP，
即△O₁PO为等边三角形，
∴O₁P=OP=a，
∴∠O₁OP=60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O₁P⊥OB，
在△O₁DO中，∵∠O₁OP=60°O₁O=a，
∴O₁D=a，OD=a，
过D作DM⊥OO₁于M，∴DM=OD=a，
OM=DM=a，
∴D（-a，a），
∵∠O₁OF=90°，∠O₁OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=OP=a，OF=a，
∴P（-a，），F（-a，0），
∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=∠BOP=30°，
∵PE⊥AB，PB=a，
∴∠EPB=60°
∴PE=a，BE=a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=PO，
∴∠PBO=∠BOP=30°，
∴∠BPO=120°，
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
即OPE三点共线，
∵OE=a+a=a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O₁于O，
∴∠EOA=30°，
∴EM=OE=a，OM=a，
∴E（-a，a），
∵E（-a，a），D（-a，a），
∴DE=-a-（-a）=a，
DE边上的高为：a，
∴S_△DEF=×a×a=a²．
故答案为：D（-a，a），E（-a，a），F（-a，0），P（-a，）；S_△DEF=a²．
分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O₁于B求证△PBE∽△POD，得出=，同理，△OPF∽△BPD，得出=，然后利用等量代换即可．
（2）连接O₁B，O₁P，得出△O₁BP和△O₁PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．
再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．
点评：本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，切割线定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，此题综合性强，难度较大，属于难题．