Question

如图，OB是矩形OABC的对角线，抛物线y=-

1

3

x²+x+6经过B，C两点，
（1）求点B的坐标：
（2）D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x轴于F，试说明△FOE与△OBC是否相似；
（3）若点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线解析式可求C点坐标，根据抛物线的对称性求B点坐标；
（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BA，由平行得△OEG∽△OBH，利用相似比求OG，EG，确定E点坐标，再求直线DE的解析式，求OF及GF，利用比例证明△OGE∽△EGF，得出∠EOG=∠FEG，利用角的相等关系转化，证明△FOE∽△OBC；
（3）存在．根据①四边形ODMN为菱形，②四边形ODNM为菱形，③四边形OMDN为菱形，三种情况分别画出图形，根据菱形的性质及已知条件求N点坐标．

解答：解：（1）设x=0，则y=6，∴C（0，6），
又矩形OABC中，BC∥x轴，
∵抛物线y=-

1

3

x²+x+6经过B，C两点，
∴B、C关于抛物线对称轴x=

3

2

对称，
∴B（3，6）；

（2）如图1，作EG⊥x轴于点G，则EG∥BA，
∴△OEG∽△OBA，
∴

OE

OB

=

OG

OA

=

EG

AB

，
又∵OE=2EB，
∴

OE

OB

=

2

3

，∴

2

3

=

OG

3

=

EG

6

，
∴OG=2，EG=4，∴E（2，4），
又∵D（0，5），设直线DE解析式为y=kx+b，
则

2k+b=4 b=5

，解得

k=- 1 2 b=5

，
∴直线DE解析式为y=-

1

2

x+5，
当y=0时，x=10，则OF=10，GF=OF-OG=8，
∴

OG

GE

=

2

4

=

GE

GF

=

4

8

，
又∠OGE=∠EGF=90°，∴△OGE∽△EGF，
∴∠EOG=∠FEG，∴∠FEO=∠FEG+∠OEG=∠EOG+∠OEG=90°=∠OCB，
BC∥x轴，则∠OBC=∠EOF，
∴△FOE∽△OBC；

（3）存在．
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形，
作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD，∴

MP

OF

=

PD

OD

=

MD

FD

，
又∵OF=10，在Rt△ODF中，FD=

OD2+OF2

=

52+102

=5

5

，
∴

MP

10

=

PD

5

=

5

5 5

，∴MP=2

5

，PD=

5

，
∴M（-2

5

，5+

5

），N（-2

5

，

5

）；
②如图2，当OD=DN=MN=MO=5时，四边形ODNM为菱形，
延长NM交x轴于P，则MP⊥x轴，
∵点M在直线y=-

1

2

x+5上，∴设M（a，-

1

2

a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，a²+（-

1

2

a+5）²=5²，
解得a₁=4，a₂=0（舍去），
∴M（4，3），N（4，8）；
③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，
连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=

5

2

，∴-

1

2

x_M+5=

5

2

，x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，∴N（-5，

5

2

）．
综上所述x轴上方的点N有三个，
分别是N₁（-2

5

，

5

），N₂（4，8），N₃（-5，

5

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据矩形、菱形的性质，结合题目的已知条件，分类讨论．